Решим задачу по шагам:
1. Определим, сколько километров проехали до заправки:
$$\frac{1}{5} \cdot 350 = 70 \text{ км}$$
2. Определим, сколько километров проехали после заправки:
$$\frac{1}{7} \cdot 350 = 50 \text{ км}$$
3. Сложим расстояния, чтобы найти общее расстояние до кафе:
$$70 + 50 = 120 \text{ км}$$
Ответ: Петя с мамой проехали до кафе 120 км.