Задание по математике из ВПР 6 класс. Вариант 2. Часть 2. Код 60102. В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество нечётно, больше 30 и меньше 80?

Разберем условие задачи. Пусть в каждом ящике x красных шаров, y синих шаров и z белых шаров. По условию задачи, число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках, а число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Тогда мы можем записать следующие уравнения для каждого ящика: Ящик 1: y = 4z , z = 4x Ящик 2: y = 4z , z = 4x Ящик 3: y = 4z , z = 4x Ящик 4: y = 4z , z = 4x Ящик 5: y = 4z , z = 4x Из этих уравнений мы видим, что в каждом ящике одинаковое количество красных, синих и белых шаров. Тогда общее количество шаров в одном ящике: x + y + z = x + 4z + z = x + 5z = x + 5(4x) = x + 20x = 21x. Общее количество шаров во всех пяти ящиках: 5 * 21x = 105x. Нам известно, что общее количество шаров нечётно, больше 30 и меньше 80. Значит, 30 < 105x < 80. Поскольку x - это количество красных шаров, то это должно быть целое число. Найдем такие значения x, чтобы 105x было нечетным числом в диапазоне от 30 до 80. Если x = 1, то 105x = 105, что больше 80. Если x - не целое число, то общее количество шаров тоже не будет целым числом, что невозможно, так как количество шаров должно быть целым. Заметим, что если x - нечетное число, то 105x тоже будет нечетным. Если x = 1, то 105 * 1 = 105 (слишком много). Но в условии сказано, что число шаров в каждом ящике должно быть равно общему числу шаров во всех *остальных* ящиках. Тогда: $$y_i = \sum_{j
e i} z_j$$ - число синих шаров в i-том ящике. $$z_i = \sum_{j
e i} x_j$$ - число белых шаров в i-том ящике. Пусть $$x_i, y_i, z_i$$ - число красных, синих и белых шаров в i-том ящике, где i = 1, 2, 3, 4, 5. Тогда: $$y_1 = z_2 + z_3 + z_4 + z_5$$ $$y_2 = z_1 + z_3 + z_4 + z_5$$ $$y_3 = z_1 + z_2 + z_4 + z_5$$ $$y_4 = z_1 + z_2 + z_3 + z_5$$ $$y_5 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4$$ Аналогично для белых шаров: $$z_1 = x_2 + x_3 + x_4 + x_5$$ $$z_2 = x_1 + x_3 + x_4 + x_5$$ $$z_3 = x_1 + x_2 + x_4 + x_5$$ $$z_4 = x_1 + x_2 + x_3 + x_5$$ $$z_5 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$$ Предположим, что во всех ящиках одинаковое количество шаров каждого цвета, то есть $$x_i = x, y_i = y, z_i = z$$ для всех i. Тогда: $$y = 4z$$ $$z = 4x$$ Общее число шаров в одном ящике: $$x + y + z = x + 4z + z = x + 5z = x + 5(4x) = 21x$$ Общее число шаров во всех ящиках: $$5(x + y + z) = 5(21x) = 105x$$ Нам дано, что $$30 < 105x < 80$$, и что $$105x$$ - нечетное число. Единственное нечетное число, которое делится на 105 в этом диапазоне, отсутствует. Значит, наше предположение, что во всех ящиках одинаковое число шаров, неверно. Попробуем другое решение. Пусть всего шаров N. Тогда количество шаров в каждом ящике $$S_i = x_i + y_i + z_i$$. $$y_i = N - (z_i + z_j)$$ $$z_i = N - (x_i + x_j)$$ Пусть x=0, y=0, z=n. Тогда количество синих шаров = 4n. $$n + 4n = N$$ $$5n = N$$ $$30 < N < 80$$, тогда $$30 < 5n < 80$$. Делим все на 5: $$6 < n < 16$$. Число N должно быть нечетным. Если n=7, N = 35. Если n=9, N=45. Если n=11, N=55. Если n=13, N=65. Если n=15, N=75. В каждом ящике лежат только белые шары, и их число равно n. В каждом ящике 7, 9, 11, 13 или 15 шаров. Тогда количество синих = 0, красных = 0. В остальных ящиках лежат только белые шары. Общее число шаров равно $$5n = N$$ Следовательно, возможные значения общего числа шаров: 35, 45, 55, 65, 75. Любое из этих чисел нечетное и лежит в диапазоне от 30 до 80. Ответ: 35, 45, 55, 65, 75