Задание 1: Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени. $$\frac{1}{243}a^3 + 0,00001 =$$ Задание 2: Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени. $$\frac{1}{32}x^5 =$$ Задание 3: Представьте выражение $$729a^6 - b^6$$ в виде произведения двух многочленов ненулевой степени тремя различными способами.

Решение задания 1: $$\frac{1}{243}a^3 + 0,00001 = (\frac{1}{3}a)^3 + (0.01)^3$$ Воспользуемся формулой суммы кубов: $$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$$ В нашем случае $$x = \frac{1}{3}a$$, $$y = 0.01$$ Тогда $$(\frac{1}{3}a)^3 + (0.01)^3 = (\frac{1}{3}a + 0.01)((\frac{1}{3}a)^2 - \frac{1}{3}a \cdot 0.01 + (0.01)^2) =$$ $$=(\frac{1}{3}a + 0.01)(\frac{1}{9}a^2 - \frac{0.01}{3}a + 0.0001)$$ Решение задания 2: $$\frac{1}{32}x^5 = \frac{1}{32}x^5$$ Это уже произведение. Можно записать так: $$\frac{1}{32} \cdot x^5$$ Или так: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} x^5$$ Решение задания 3: $$729a^6 - b^6 = (27a^3)^2 - (b^3)^2 = (27a^3 - b^3)(27a^3 + b^3)$$ Далее разложим каждую скобку, используя формулы разности и суммы кубов: $$(27a^3 - b^3) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$$ $$(27a^3 + b^3) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$$ Тогда $$729a^6 - b^6 = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$$ Другие способы разложения: $$729a^6 - b^6 = (9a^2)^3 - (b^2)^3 = (9a^2 - b^2)(81a^4 + 9a^2b^2 + b^4) = (3a-b)(3a+b)(81a^4 + 9a^2b^2 + b^4)$$ $$729a^6 - b^6 = (729a^6 - b^6) = (9a^2 - b^2)(81a^4 + 9a^2b^2 + b^4) = (3a-b)(3a+b)(81a^4 + 9a^2b^2 + b^4)$$