Задание 3: Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. От А к В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка. Прибыв к пристани В, лодка тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот проплыл 68 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение: 1. Найдем время, которое плот был в пути. Плот начал движение в момент отправления из пункта A, и к моменту возвращения лодки в пункт А он проплыл 68 км. Скорость течения реки равна 4 км/ч, поэтому время в пути плота составляет: $t = \frac{S}{V} = \frac{68}{4} = 17$ часов 2. Определим время движения лодки. Лодка вышла на час позже плота, следовательно, ее время в пути на 1 час меньше времени плота: $17 - 1 = 16$ часов. 3. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $x$. Тогда скорость лодки по течению реки будет $(x + 4)$, а против течения $(x - 4)$. 4. Пусть $t_1$ - время, которое лодка плыла по течению до пристани B, а $t_2$ - время, которое лодка плыла против течения от пристани B до пристани A. Тогда: $t_1 + t_2 = 16$ 5. Путь по течению от A до B равен 120 км, значит: $(x + 4) \cdot t_1 = 120$ $t_1 = \frac{120}{x + 4}$ 6. Путь против течения от B до A также равен 120 км, значит: $(x - 4) \cdot t_2 = 120$ $t_2 = \frac{120}{x - 4}$ 7. Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в уравнение $t_1 + t_2 = 16$: $\frac{120}{x + 4} + \frac{120}{x - 4} = 16$ 8. Решим уравнение: $\frac{120(x - 4) + 120(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 16$ $\frac{120x - 480 + 120x + 480}{x^2 - 16} = 16$ $\frac{240x}{x^2 - 16} = 16$ $240x = 16(x^2 - 16)$ $15x = x^2 - 16$ $x^2 - 15x - 16 = 0$ 9. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x - 16 = 0$: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$ $x_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$ $x_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) 10. Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч. Ответ: 16 км/ч