Задание 5. Решите задачи по готовым чертежам: a) Дано: АС - биссектриса ∠A; АВ = AD (рис.1.11); Доказать: ВС = CD; б) Дано: AD=DC; BDIAC (рис.1.12); Доказать: АB=BC; в) Дано: BD -биссектриса ∠B; АВ=ВС (рис.1.13); Доказать: AD=DC; ∠BDC=90°. г) Дано: ВС=AD; /BCA=/CAD (рис.1.14); Доказать: ДАBC=∠CDA.

Для решения этих задач необходимы знания признаков равенства треугольников и свойств биссектрис и перпендикуляров. Предоставить полные доказательства без дополнительных построений затруднительно, но я опишу ход рассуждений для каждого случая.

a) Дано: АС - биссектриса ∠A; АВ = AD. Доказать: ВС = CD.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Так как AC - биссектриса ∠A, то ∠BAC = ∠DAC. Также AB = AD по условию, и AC - общая сторона. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть BC = CD, что и требовалось доказать.

б) Дано: AD=DC; BDIAC. Доказать: АB=BC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. BD - высота и медиана, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника, если высота является и медианой, то треугольник равнобедренный). Отсюда AB = BC, что и требовалось доказать.

в) Дано: BD - биссектриса ∠B; АВ=ВС. Доказать: AD=DC; ∠BDC=90°.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. BD - биссектриса, следовательно, ∠ABD = ∠CBD. AB = BC по условию, и BD - общая сторона. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AD = DC, что и требовалось доказать. Так как AB=BC, то треугольник ABC - равнобедренный. BD - биссектриса, а в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой, то есть BD перпендикулярна AC. Следовательно, ∠BDC=90°.

г) Дано: ВС=AD; ∠BCA=∠CAD. Доказать: ∠ABC=∠CDA.

Рассмотрим трапецию ABCD. Так как ∠BCA = ∠CAD, то AC – диагональ, образующая равные углы с основаниями, следовательно, ABCD – равнобедренная трапеция (по свойству углов при основании равнобедренной трапеции). В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, следовательно, ∠ABC = ∠CDA, что и требовалось доказать.