Задание 7 Сумма двух углов ромба равна 240°, а его меньшая диагональ равна 31. Найдите периметр ромба.

Разбираемся:

1. Сумма двух углов ромба равна 240°. Так как противоположные углы ромба равны, то это два тупых угла. Значит, каждый из этих углов равен:

   \[\frac{240}{2} = 120^\circ\]

2. Сумма всех углов ромба равна 360°. Тогда сумма двух острых углов равна:

   \[360 - 240 = 120^\circ\]

   Значит, каждый из острых углов равен: \[\frac{120}{2} = 60^\circ\]

3. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла, то есть угла в 60°. Обозначим сторону ромба как a. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и меньшей диагональю:

   \[31^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot cos(60^\circ)\]

   \[961 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}\]

   \[961 = 2a^2 - a^2\]

   \[961 = a^2\]

   \[a = \sqrt{961} = 31\]

4. Периметр ромба равен:

   \[P = 4 \cdot a = 4 \cdot 31 = 124\]

Ответ: 124

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему косинусов и нашел все углы ромба.

Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяй, какой угол использовать в теореме косинусов (напротив какой диагонали он лежит).