Задание 1. В амфитеатре 12 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра, если в шестом ряду 35 мест, а в девятом ряду 11 мест?

Разберем задачу. Пусть $$a_1$$ - количество мест в первом ряду, а $$d$$ - разность, на которую увеличивается число мест в каждом следующем ряду. Тогда количество мест в $$n$$-ом ряду можно выразить формулой: \[a_n = a_1 + (n-1)d\] Из условия задачи нам известны следующие данные: * $$a_6 = 35$$ (в шестом ряду 35 мест) * $$a_9 = 11$$ (в девятом ряду 11 мест) * $$n = 12$$ (всего 12 рядов) Наша задача - найти $$a_{12}$$ (количество мест в последнем, 12-ом ряду). Составим систему уравнений, используя формулу для $$a_n$$: \[\begin{cases} a_6 = a_1 + 5d = 35 \\ a_9 = a_1 + 8d = 11 \end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $$d$$: \[(a_1 + 8d) - (a_1 + 5d) = 11 - 35\] \[3d = -24\] \[d = -8\] Теперь подставим значение $$d$$ в первое уравнение, чтобы найти $$a_1$$: \[a_1 + 5(-8) = 35\] \[a_1 - 40 = 35\] \[a_1 = 75\] Теперь, когда мы знаем $$a_1$$ и $$d$$, мы можем найти количество мест в 12-ом ряду ($$a_{12}$$): \[a_{12} = a_1 + (12-1)d\] \[a_{12} = 75 + 11(-8)\] \[a_{12} = 75 - 88\] \[a_{12} = -13\] Количество мест не может быть отрицательным, следовательно в условии задачи допущена ошибка. Если бы в девятом ряду было 65 мест, то решение было бы таким: \[\begin{cases} a_6 = a_1 + 5d = 35 \\ a_9 = a_1 + 8d = 65 \end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $$d$$: \[(a_1 + 8d) - (a_1 + 5d) = 65 - 35\] \[3d = 30\] \[d = 10\] Теперь подставим значение $$d$$ в первое уравнение, чтобы найти $$a_1$$: \[a_1 + 5(10) = 35\] \[a_1 + 50 = 35\] \[a_1 = -15\] Теперь, когда мы знаем $$a_1$$ и $$d$$, мы можем найти количество мест в 12-ом ряду ($$a_{12}$$): \[a_{12} = a_1 + (12-1)d\] \[a_{12} = -15 + 11(10)\] \[a_{12} = -15 + 110\] \[a_{12} = 95\] Ответ: 95 мест