Задание 4 В кармане у Вовы было 2 монеты по два рубля и 7 монет по пять рублей. Мальчик, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Какова вероятность, что двухрублёвые монеты лежат теперь в разных карманах.

Всего у Вовы было 2 + 7 = 9 монет.

Он переложил 3 монеты в другой карман. Это означает, что осталось 9 - 3 = 6 монет в исходном кармане.

Чтобы двухрублёвые монеты лежали в разных карманах, необходимо, чтобы хотя бы одна из двухрублёвых монет была переложена в другой карман.

Давайте рассмотрим возможные варианты:

1. Одна двухрублёвая монета переложена, а две пятирублёвые:
• Вероятность вытащить одну двухрублёвую монету из двух: $$ \frac{C_2^1 \cdot C_7^2}{C_9^3} $$
2. Две двухрублёвые монеты переложены, и одна пятирублёвая:
• Вероятность вытащить две двухрублёвые монеты из двух: $$ \frac{C_2^2 \cdot C_7^1}{C_9^3} $$

Где \(C_n^k\) - это число сочетаний из n по k, рассчитывается как: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$.

$$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2}{1 \cdot 1} = 2$$

$$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$$

$$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1$$

$$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7}{1} = 7$$

$$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$$

Вероятность того, что одна двухрублёвая монета и две пятирублёвые переложены: $$ \frac{2 \cdot 21}{84} = \frac{42}{84} = \frac{1}{2} $$

Вероятность того, что две двухрублёвые монеты и одна пятирублёвая переложены: $$ \frac{1 \cdot 7}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12} $$

Общая вероятность: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} $$

Ответ: 7/12