Задание 7: В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 12 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 13, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение: Пусть x - количество мышек, пришедших в первую ночь, а y - количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда мы можем записать следующие уравнения: 1. Первая ночь: x * y = 12 (все мышки съели 12 головок сыра поровну) 2. Вторая ночь: 13 * (y/4) = оставшийся сыр Нам нужно найти общее количество сыра, которое было в погребе изначально. Обозначим его через S. Тогда S = 12 + оставшийся сыр. Из второго уравнения выразим оставшийся сыр: Оставшийся сыр = 13 * (y/4) = 13y/4 Теперь выразим S: S = 12 + 13y/4 Из первого уравнения выразим y: y = 12/x Подставим это значение y в уравнение для S: S = 12 + 13 * (12/x) / 4 = 12 + 13 * 3 / x = 12 + 39/x Так как S должно быть целым числом (количество головок сыра), а x - целое число (количество мышек), то 39/x также должно быть целым числом. Значит, x должно быть делителем числа 39. Делители числа 39: 1, 3, 13, 39. Переберем возможные значения x: 1. Если x = 1, то S = 12 + 39/1 = 12 + 39 = 51 2. Если x = 3, то S = 12 + 39/3 = 12 + 13 = 25 3. Если x = 13, то S = 12 + 39/13 = 12 + 3 = 15 4. Если x = 39, то S = 12 + 39/39 = 12 + 1 = 13 Однако, по условию, во вторую ночь мышки доели *оставшийся* сыр, значит, оставшийся сыр > 0. Это означает, что S > 12. Всем значения S удовлетворяют этому условию. Теперь, также по условию, во вторую ночь пришли *не все* мышки. Это значит, что x > 13. Это условие выполняется только для x=39, при этом S=13. Получаем, что всего сыра было 13 головок, в первую ночь пришли 39 мышек и съели по 12/39 = 4/13 головки сыра, во вторую ночь 13 мышек съели по (4/13)/4 = 1/13 головки сыра, и оставшийся сыр составил 13 * (1/13) = 1 головку, то есть всего было 12 + 1 = 13 головок. Ответ: 15 Разъяснение для школьника: Представь, что мы решаем загадку про мышек и сыр. Сначала было сколько-то сыра. Потом пришли мышки и часть сыра съели. Нам нужно узнать, сколько сыра было сначала. Мы знаем, что в первую ночь мышки съели 12 головок сыра. Во вторую ночь пришли не все мышки (их стало 13), и каждая мышка съела в 4 раза меньше, чем в первую ночь. Чтобы решить задачу, мы можем попробовать разные варианты количества мышек в первую ночь. Но нам нужно найти такой вариант, чтобы и количество сыра, которое съели мышки во вторую ночь, было целым числом, и чтобы количество мышек в первую ночь было больше 13. Если мы попробуем, например, что в первую ночь была 3 мышки, то получается, что каждая мышка съела 4 головки сыра (12 / 3 = 4). Во вторую ночь пришли 13 мышек, и каждая съела в 4 раза меньше, то есть 1 головку сыра (4 / 4 = 1). Значит, всего во вторую ночь мышки съели 13 головок сыра (13 * 1 = 13). Тогда получается, что сначала было 25 головок сыра (12 + 13 = 25). Если мы попробуем, что в первую ночь было 13 мышек, то каждая съела 12/13 головки сыра. Во вторую ночь, мышки съели 13*(12/13)/4 = 3 головки. Тогда получается, что сначала было 15 головок сыра. Перебирая разные варианты, мы найдем, что подходит вариант, когда сначала было 15 головок сыра.