Задание 10: В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 35, sin A = 0,8. Найдите площадь треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC = 35. Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B\] Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle C \). Нам дан \( \sin A = 0.8 \). Нужно найти \( \sin B \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то \[ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 2 \angle A \] Чтобы найти \( \sin B \), воспользуемся формулой: \[ \sin B = \sin(180^\circ - 2A) = \sin(2A) \] Теперь нужно найти \( \sin(2A) \). Воспользуемся формулой двойного угла: \[ \sin(2A) = 2 \cdot \sin A \cdot \cos A \] У нас есть \( \sin A = 0.8 \). Найдем \( \cos A \) используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] \[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36 \] \[ \cos A = \sqrt{0.36} = 0.6 \] Теперь найдем \( \sin(2A) \): \[ \sin(2A) = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.6 = 0.96 \] Итак, \( \sin B = 0.96 \). Теперь можно найти площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 35 \cdot 0.96 = \frac{1}{2} \cdot 1225 \cdot 0.96 = 588 \] Площадь треугольника ABC равна 588.