ЗАДАНИЕ 2 Введите ответ в числовое поле Найдите наименьшее значение выражения $$\sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{x^2 - 3\sqrt{3}x+9}$$ .

Найдем наименьшее значение выражения $$\sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{x^2 - 3\sqrt{3}x+9}$$.

Представим выражение в виде суммы двух расстояний от точки (x, 0) до точек (0, 5) и $$(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2})$$.

Тогда наименьшее значение выражения будет равно расстоянию между точками (0, 5) и $$(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2})$$.

Вычислим это расстояние:

$$\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{9}{2} - 5\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}$$

$$\sqrt{7} \approx 2.64575$$.

Выражение $$\sqrt{x^2 - 3\sqrt{3}x+9}$$ можно преобразовать к виду $$\sqrt{(x-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2}$$, что соответствует расстоянию от точки (x, 0) до точки $$(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$$.

Значит, сумма будет минимальной, когда x будет лежать между точками (0, 5) и $$(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$$.

Выражение $$\sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{x^2 - 3\sqrt{3}x+9} = \sqrt{x^2 + 5^2} + \sqrt{(x-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2}$$.

Минимальное значение будет, когда $$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Тогда выражение примет вид: $$\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + 25} + \sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 - 3\sqrt{3}(\frac{3\sqrt{3}}{2}) + 9} = \sqrt{\frac{27}{4} + 25} + \sqrt{\frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 9} = \sqrt{\frac{27 + 100}{4}} + \sqrt{\frac{27 - 54 + 36}{4}} = \sqrt{\frac{127}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{127}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{127} + 3}{2}$$.

Приблизительно равно: $$\frac{11.2694 + 3}{2} \approx 7.1347$$.

При x = 0: $$\sqrt{0 + 25} + \sqrt{0 + 9} = 5 + 3 = 8$$.

Ответ: 8