Задание 4 Выполните действия. $$\left(b+9a-\frac{18ab}{b+9a}\right):\left(\frac{9a-b}{b+9a}+\frac{a}{b}\right)=$$

Для решения данного выражения выполним действия по порядку:

1. Упростим выражение в первой скобке:

$$\frac{(b+9a)^2 - 18ab}{b+9a} = \frac{b^2 + 18ab + 81a^2 - 18ab}{b+9a} = \frac{b^2 + 81a^2}{b+9a}$$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$$\frac{9a-b}{b+9a} + \frac{a}{b} = \frac{b(9a-b) + a(b+9a)}{b(b+9a)} = \frac{9ab - b^2 + ab + 9a^2}{b(b+9a)} = \frac{10ab - b^2 + 9a^2}{b(b+9a)}$$

3. Теперь разделим первую скобку на вторую:

$$\frac{b^2 + 81a^2}{b+9a} : \frac{10ab - b^2 + 9a^2}{b(b+9a)} = \frac{(b^2 + 81a^2) \cdot b(b+9a)}{(b+9a)(10ab - b^2 + 9a^2)}$$

Сократим (b+9a):

$$\frac{(b^2 + 81a^2) \cdot b}{10ab - b^2 + 9a^2}$$

Преобразуем знаменатель:

$$9a^2 + 10ab - b^2 = (9a - b)(a + b)$$

Таким образом, выражение не упрощается до конца, но мы можем оставить его в таком виде:

$$\frac{b(b^2 + 81a^2)}{9a^2 + 10ab - b^2}$$

Ответ: $$\frac{b(b^2 + 81a^2)}{9a^2 + 10ab - b^2}$$