19. Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в об- ратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Ответ: 828.

Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — цифры, причем \(a > 7\) и \(c\) — четная цифра, не равная 0.

По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 396\). Запишем это в виде:

\[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396\] \[99a - 99c = 396\] \[99(a - c) = 396\] \[a - c = 4\]

Так как \(a > 7\), то \(a\) может быть равно 8 или 9. Рассмотрим оба случая:

• Если \(a = 8\), то \(c = 4\). Тогда число имеет вид \(\overline{8b4}\). Число должно делиться на 23. Проверим числа вида 814, 824, 834 и т.д. Делится на 23 только число 828.
• Если \(a = 9\), то \(c = 5\). Но 5 - нечетное число, что противоречит условию задачи.

Таким образом, задуманное число 828.

Ответ: 828.