№16 Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 19. Какое число задумали?

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Пусть задуманное двузначное число — \(x\). Тогда четырёхзначное число, полученное приписыванием этого числа к себе, можно записать как \(100x + x = 101x\).
2. По условию, полученное число делится на 19, то есть \(101x\) делится на 19. Это значит, что \(101x = 19k\) для некоторого целого числа \(k\).
3. Двузначное число \(x\) должно делиться на 5, поэтому его последняя цифра либо 0, либо 5.
4. Так как \(101x\) делится на 19, проверим возможные варианты для \(x\), делящиеся на 5:
   • Если \(x = 101 \cdot 5 = 505\) не делится на 19.
   • Если \(x = 10, 101 \cdot 10 = 1010\) не делится на 19.
   • Если \(x = 15, 101 \cdot 15 = 1515 = 19 \cdot 79.7\) не делится на 19.
   • Если \(x = 20, 101 \cdot 20 = 2020\) не делится на 19.
   • Если \(x = 25, 101 \cdot 25 = 2525\) не делится на 19.
   • Если \(x = 30, 101 \cdot 30 = 3030\) не делится на 19.
   • Если \(x = 35, 101 \cdot 35 = 3535\) не делится на 19.
   • Если \(x = 40, 101 \cdot 40 = 4040\) не делится на 19.
   • Если \(x = 45\), то \(101 \cdot 45 = 4545\), и \(4545 : 19 = 239,21\).
   • Если \(x = 50, 101 \cdot 50 = 5050\) не делится на 19.
   • Если \(x = 55, 101 \cdot 55 = 5555 = 19 \cdot 292.3\) не делится на 19.
   • Если \(x = 60, 101 \cdot 60 = 6060\) не делится на 19.
   • Если \(x = 65, 101 \cdot 65 = 6565\) не делится на 19.
   • Если \(x = 70, 101 \cdot 70 = 7070\) не делится на 19.
   • Если \(x = 75, 101 \cdot 75 = 7575 = 19 \cdot 398.6\) не делится на 19.
   • Если \(x = 80, 101 \cdot 80 = 8080\) не делится на 19.
   • Если \(x = 85, 101 \cdot 85 = 8585\) не делится на 19.
   • Если \(x = 90, 101 \cdot 90 = 9090\) не делится на 19.
   • Если \(x = 95\), то \(101 \cdot 95 = 9595\), и \(9595 : 19 = 505\).
5. Следовательно, \(x=95\)

Ответ: 95