3. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой.

Пусть задуманное число имеет вид $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа. По условию, $$b = a - 1$$. Число, полученное перестановкой цифр, имеет вид $$10b + a$$. Сумма квадратов задуманного и полученного чисел равна 585: $$(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 585$$. Подставим $$b = a - 1$$ в уравнение: $$(10a + (a - 1))^2 + (10(a - 1) + a)^2 = 585$$. $$(11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585$$. Раскроем скобки: $$(121a^2 - 22a + 1) + (121a^2 - 220a + 100) = 585$$. $$242a^2 - 242a + 101 = 585$$. $$242a^2 - 242a - 484 = 0$$. Разделим уравнение на 22: $$11a^2 - 11a - 22 = 0$$. Разделим уравнение на 11: $$a^2 - a - 2 = 0$$. Решим квадратное уравнение $$a^2 - a - 2 = 0$$: D = $$(-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$. $$a_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$. $$a_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$. Так как $$a$$ - цифра, то $$a = 2$$. Тогда $$b = a - 1 = 2 - 1 = 1$$. Задуманное число равно $$10a + b = 10(2) + 1 = 21$$. Проверим: Переставленное число - 12. $$21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585$$. Ответ: 21