Задумали трехзначное число, у которого цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде сотен. Когда сумму цифр этого числа умножили на произведение его цифр, получилось 2499. Какое число задумали?

Решение: Пусть трехзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры, причем $$a > b$$. По условию, $$(a+b+c) \cdot a \cdot b \cdot c = 2499$$. Разложим число 2499 на простые множители: $$2499 = 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17$$. Так как $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры, то произведение $$a \cdot b \cdot c$$ может принимать значения, являющиеся делителями 2499. Поскольку $$a,b,c$$ - цифры, то очевидно, что $$a\cdot b\cdot c = 3 \cdot 7 \cdot 17$$ не подходит, так как 17 не может быть цифрой. Аналогично не подходят варианты с произведением, содержащим 17. Попробуем представить 2499 как произведение суммы цифр и произведения цифр. $$2499 = (a+b+c)(abc)$$. Попробуем $$a+b+c = 17$$ и $$abc = 3*7*7 = 147 $$. Однако, $$a,b,c$$ это отдельные цифры. Из разложения $$2499 = 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17$$ видно, что одна из цифр должна быть 7. Допустим, что $$a=9$$, тогда $$b$$ может быть 7, а $$c$$ какой-то цифрой. Тогда $$9+7+c$$ должно быть делителем 2499. Также $$9\cdot 7 \cdot c$$ должно быть делителем 2499. Допустим, $$a=7$$. Тогда $$7>b$$. Пусть $$b=3$$. Тогда $$(7+3+c)(7 \cdot 3 \cdot c) = 2499$$. $$(10+c)(21c) = 2499$$, $$210c + 21c^2 = 2499$$, $$21c^2 + 210c - 2499 = 0$$, $$7c^2 + 70c - 833 = 0$$. Это уравнение не имеет целых решений. Пусть $$a+b+c = 21$$ и $$abc = 119$$ = 7*17 не подходят. Попробуем число 913. Тогда (9+1+3) * 9 * 1 * 3 = 13 * 27 = 351. Не подходит. Если $$a=7$$, $$b=1$$. $$2499 = (7+1+c) \cdot 7 \cdot 1 \cdot c = (8+c) \cdot 7c$$, то $$2499=56c + 7c^2$$. $$7c^2 + 56c - 2499 = 0$$. Решений нет. Попробуем 917, 917. Тогда (9+1+7) * 9 * 1 * 7 = 17 * 63 = 1071. Не подходит. Заметим, что 2499 делится на 3, 7 и 17. Допустим, произведение цифр равно 21. Тогда сумма цифр равна 119, что невозможно, так как сумма цифр не может быть больше 27. Допустим, произведение равно 119 = 7*17. Произведение цифр равно 21. Тогда сумма цифр равна 119. Не подходит. Попробуем 931. (9+3+1) = 13. 9*3*1=27. 13*27 = 351. Пусть сумма цифр равна 17, произведение равно 147 = 3*7*7. 773? 377? 737? Тогда 7*7*3 = 147. 7+7+3=17. 7>3. Тогда число 737. Проверим: (7+3+7)*7*3*7 = 17 * 147 = 2499. Ответ: 737