Задумали трёхзначное число, которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 54. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - цифры. По условию, число больше 700 и делится на 15. Значит, оно делится на 5 и на 3. Раз число делится на 5, то $$c = 0$$ или $$c = 5$$. Раз число делится на 3, то $$a + b + c$$ делится на 3. Так как число больше 700, то $$a \geq 7$$. После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц, новое число будет иметь вид $$\overline{acb}$$. Разность между задуманным числом и новым числом равна 54: $$\overline{abc} - \overline{acb} = 54$$. В десятичной записи это выглядит так: $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 54$$. Упростим выражение: $$100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 54$$, что даёт $$9b - 9c = 54$$. Разделим обе части на 9: $$b - c = 6$$. Теперь рассмотрим возможные значения для $$c$$. Если $$c = 0$$, то $$b = 6$$. Тогда число имеет вид $$\overline{a60}$$. Если $$c = 5$$, то $$b = 11$$, что невозможно, так как $$b$$ - цифра. Итак, $$c = 0$$ и $$b = 6$$. Теперь число имеет вид $$\overline{a60}$$ и делится на 15. Значит, $$a + 6 + 0 = a + 6$$ должно делиться на 3. Также, число $$\overline{a60} > 700$$, то есть $$a \geq 7$$. Возможные значения для $$a$$: 7, 8, 9. Если $$a = 7$$, то $$7 + 6 = 13$$, не делится на 3. Если $$a = 8$$, то $$8 + 6 = 14$$, не делится на 3. Если $$a = 9$$, то $$9 + 6 = 15$$, делится на 3. Таким образом, $$a = 9$$, $$b = 6$$, $$c = 0$$. Задуманное число: 960. Проверим: 960 делится на 15 (960 / 15 = 64), 960 > 700. Переставим цифры десятков и единиц: 906. Вычтем: 960 - 906 = 54. Ответ: 960