Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 72. Какое число было задумано?

Пусть трёхзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры. Так как число делится на 45, оно делится на 5 и на 9. Значит, c = 0 или c = 5, а сумма цифр a + b + c делится на 9. После перестановки цифр десятков и единиц, получается число $$\overline{acb}$$. По условию, $$\overline{abc} - \overline{acb} = 72$$. Разложим числа по разрядам: $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72$$ $$100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72$$ $$9b - 9c = 72$$ $$b - c = 8$$ Так как b и c - цифры, то $$0 \le b \le 9$$ и $$0 \le c \le 9$$. Из уравнения $$b - c = 8$$ следует, что $$b = c + 8$$. Если $$c = 0$$, то $$b = 8$$. Если $$c = 1$$, то $$b = 9$$. Поскольку число делится на 45, c может быть только 0 или 5. Значит, подходит только вариант с $$c=0$$. Тогда $$b=8$$. Сумма цифр $$a + b + c = a + 8 + 0 = a + 8$$ должна делиться на 9. Единственное подходящее значение $$a$$ - это $$a = 1$$. Тогда число $$\overline{abc} = 180$$. Проверим: $$180 - 108 = 72$$. Число 180 делится на 45 ($$180 = 45 \cdot 4$$). Следовательно, задуманное число было 180.