Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - цифры от 0 до 9, и \(a \neq 0\).

1. Условие делимости на 35:
Так как число делится на 35, оно должно делиться на 5 и на 7. Делимость на 5 означает, что \(c = 0\) или \(c = 5\).

2. Перестановка цифр:
Новое число после перестановки цифр в разрядах десятков и единиц будет \(100a + 10c + b\).

3. Вычитание чисел:
Из задуманного числа вычитаем полученное после перестановки, и получаем 63:
\[
(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63
\]
\[
10b + c - 10c - b = 63
\]
\[
9b - 9c = 63
\]
\[
b - c = 7
\]

4. Анализ возможных значений \(c\):

* Если \(c = 0\):
Тогда \(b = 7\). Исходное число имеет вид \(100a + 70 + 0 = 100a + 70\). Это число должно делиться на 35. Возможные значения: \(100a + 70 = 35k\) для некоторого целого числа \(k\). Разделим обе части на 5: \(20a + 14 = 7k\), или \(20a = 7(k - 2)\). Это означает, что \(20a\) должно делиться на 7. Наименьшее значение для \(a\) равно 7, тогда число будет 770.

* Если \(c = 5\):
Тогда \(b = 12\), что невозможно, так как \(b\) должно быть цифрой от 0 до 9.

5. Проверка числа 770:
* 770 делится на 35 (\(770 = 35 cdot 22\)).
* После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц получим число 707.
* Вычитаем: \(770 - 707 = 63\).

Таким образом, задуманное число - 770.