Задумали трёхзначное число, которое делится на 63 и последняя цифра которого равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 594. Какое число было задумано?

Решение:

1. Пусть задумано трёхзначное число \( \overline{abc} \). По условию, последняя цифра равна нулю, значит \( c = 0 \). Число имеет вид \( \overline{ab0} \).
2. Это число делится на 63. Так как \( 63 = 7 \times 9 \), число \( \overline{ab0} \) должно делиться и на 7, и на 9.
3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр: \( a + b + 0 = a + b \). Значит, \( a + b \) должно делиться на 9. Возможные суммы: 9, 18.
4. Так как \( a \) — первая цифра трёхзначного числа, \( a \neq 0 \). Максимальное значение \( a + b \) равно \( 9 + 9 = 18 \).
5. Возможные пары \( (a, b) \) такие, что \( a+b=9 \) или \( a+b=18 \): \( (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0), (9, 9) \).
6. Число \( \overline{ab0} \) должно делиться на 7. Проверим числа:
• \( 180 \div 7 \) — не делится.
• \( 270 \div 7 \) — не делится.
• \( 360 \div 7 \) — не делится.
• \( 450 \div 7 \) — не делится.
• \( 540 \div 7 \) — не делится.
• \( 630 \div 7 = 90 \) — делится.
• \( 720 \div 7 \) — не делится.
• \( 810 \div 7 \) — не делится.
• \( 900 \div 7 \) — не делится.
• \( 990 \div 7 \) — не делится.
7. Единственное число, удовлетворяющее условиям делимости на 63 и наличия нуля на конце — это 630.
8. Проверим второе условие: из задуманного числа вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Число, записанное цифрами 6, 3, 0 в обратном порядке, это 036, что равно 36. Но по условию вычитается трёхзначное число. Это означает, что задуманное число не может иметь 0 в середине.
9. Пересмотрим пары \( (a, b) \) с учётом, что \( b \neq 0 \) (чтобы обратный порядок тоже был трёхзначным числом, если бы \( c \neq 0 \)). В данном случае, если \( c=0 \), то обратный порядок — \( 0ba \), что равно \( ba \).
10. У нас есть число \( \bar{ab0} \) и число \( \bar{ba} \). Вычитаем: \( \bar{ab0} - \bar{ba} = 594 \).
11. Разложим числа: \( 100a + 10b - (10b + a) = 594 \)
12. \( 100a + 10b - 10b - a = 594 \)
13. \( 99a = 594 \)
14. \( a = \frac{594}{99} = 6 \)
15. Теперь найдём \( b \) из условия \( a + b = 9 \) (или 18).
16. \( 6 + b = 9 \) \( \Rightarrow b = 3 \).
17. \( 6 + b = 18 \) \( \Rightarrow b = 12 \) (не подходит, так как \( b \) — цифра).
18. Итак, \( a = 6 \) и \( b = 3 \). Задуманное число \( \bar{ab0} = 630 \).
19. Проверим: \( 630 - 36 = 594 \). Всё верно.

Ответ: 630.