Задумали трёхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого чётная. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Найдите сумму наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

Пусть задуманное число — \( \overline{abc} \), где \( a \) — первая цифра (чётная, \( a \in \{2, 4, 6, 8\} \)), \( b \) — вторая цифра, \( c \) — третья цифра. Цифры \( a, b, c \) различны.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — \( \overline{cba} \).

По условию: \( \overline{abc} - \overline{cba} = 495 \).

Развернём запись чисел:

\( 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 495 \)

\( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495 \)

\( 99a - 99c = 495 \)

\( 99(a - c) = 495 \)

\( a - c = \frac{495}{99} \)

\( a - c = 5 \)

Теперь найдём возможные пары \( (a, c) \), учитывая, что \( a \) — чётная цифра, \( a \neq 0 \), \( a \neq c \).

• Если \( a = 6 \), то \( c = 6 - 5 = 1 \). Возможные числа: \( 6b1 \). Цифры различны, \( b \neq 6 \) и \( b \neq 1 \). \( b \) может быть \( 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \).
• Если \( a = 8 \), то \( c = 8 - 5 = 3 \). Возможные числа: \( 8b3 \). Цифры различны, \( b \neq 8 \) и \( b \neq 3 \). \( b \) может быть \( 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 \).

Найдем наименьшее и наибольшее числа:

Наименьшее число:

При \( a=6, c=1 \), наименьшее \( b \) — \( 0 \). Число — \( 601 \). (Обратное: \( 106 \). \( 601 - 106 = 495 \)).

Наибольшее число:

При \( a=8, c=3 \), наибольшее \( b \) — \( 9 \). Число — \( 893 \). (Обратное: \( 398 \). \( 893 - 398 = 495 \)).

Теперь найдём сумму наименьшего и наибольшего чисел:

\( 601 + 893 = 1494 \).

Ответ: 1494.