17. Задумано двузначное число, которое делится на 6. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумали?

Пусть задуманное число равно ab, где a и b - цифры. Тогда четырехзначное число, полученное приписыванием этого числа к самому себе, будет иметь вид abab.

1. Число abab можно представить как $$100 \cdot ab + ab = 101 \cdot ab$$
2. По условию, ab делится на 6, то есть ab = 6n, где n - целое число. Также ab делится на 2 и на 3.
3. По условию, abab делится на 11, то есть $$101 \cdot ab$$ делится на 11. Поскольку 101 не делится на 11, то ab должно делиться на 11. Значит ab = 11m, где m - целое число.
4. Таким образом, ab делится и на 6, и на 11. Это означает, что ab должно делиться на наименьшее общее кратное чисел 6 и 11, то есть на 66.
5. Единственное двузначное число, которое делится на 66, это само 66.
6. Проверим, что 66 делится на 6. Действительно, 66 : 6 = 11.
7. Теперь образуем четырехзначное число 6666 и проверим, делится ли оно на 11.
8. Чтобы проверить, делится ли 6666 на 11, найдем знакочередующуюся сумму его цифр: 6 - 6 + 6 - 6 = 0. Поскольку 0 делится на 11, то и 6666 делится на 11.

Следовательно, задуманное число равно 66.

Ответ: 66