Закон распределения случайной величины X задан таблицей: X 2 4 6 7 9 P 0,3 0,3 0,3 0,05 0,05 Вычислите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой величины

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить математическое ожидание (E(X)), дисперсию (D(X)) и стандартное отклонение (σ(X)) случайной величины X, заданной таблицей распределения.

1. Математическое ожидание (E(X))

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений каждого значения случайной величины на его вероятность:

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$$

В нашем случае:

$$E(X) = 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.05 + 9 \cdot 0.05$$ $$E(X) = 0.6 + 1.2 + 1.8 + 0.35 + 0.45$$ $$E(X) = 4.4$$

2. Дисперсия (D(X))

Дисперсия вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

$$D(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$

В нашем случае:

$$D(X) = (2 - 4.4)^2 \cdot 0.3 + (4 - 4.4)^2 \cdot 0.3 + (6 - 4.4)^2 \cdot 0.3 + (7 - 4.4)^2 \cdot 0.05 + (9 - 4.4)^2 \cdot 0.05$$ $$D(X) = (-2.4)^2 \cdot 0.3 + (-0.4)^2 \cdot 0.3 + (1.6)^2 \cdot 0.3 + (2.6)^2 \cdot 0.05 + (4.6)^2 \cdot 0.05$$ $$D(X) = 5.76 \cdot 0.3 + 0.16 \cdot 0.3 + 2.56 \cdot 0.3 + 6.76 \cdot 0.05 + 21.16 \cdot 0.05$$ $$D(X) = 1.728 + 0.048 + 0.768 + 0.338 + 1.058$$ $$D(X) = 3.94$$

3. Стандартное отклонение (σ(X))

Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$$

В нашем случае:

$$\sigma(X) = \sqrt{3.94} \approx 1.985$$

Ответы:

Математическое ожидание: E(X) = 4.4

Дисперсия: D(X) = 3.94

Стандартное отклонение: σ(X) ≈ 1.985