1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение: a) (3a-2b)²; б) (3x-5y)(3x + 5y); в) 3a⁴(2a + b)². 2. Разложите на множители многочлен: a) 9x² - 25; б) -3a² + 6a-3; в) y³ - 8x³. 3. Решите уравнение (4x + 1)² - (4x + 3)(4x - 3) = 6x - 2. 4. Докажите, что выражение 4x² - 4xy + 2y² может принимать только неотрицательные значения.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эти задания. 1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение: а) $$(3a-2b)^2$$: Используем формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$. $$(3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$$. Ответ: $$9a^2 - 12ab + 4b^2$$ б) $$(3x-5y)(3x + 5y)$$: Используем формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$. $$(3x - 5y)(3x + 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$$. Ответ: $$9x^2 - 25y^2$$ в) $$3a^4(2a + b)^2$$: Сначала раскроем квадрат суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$. $$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$$. Теперь умножим на $$3a^4$$: $$3a^4(4a^2 + 4ab + b^2) = 12a^6 + 12a^5b + 3a^4b^2$$. Ответ: $$12a^6 + 12a^5b + 3a^4b^2$$ 2. Разложите на множители многочлен: а) $$9x^2 - 25$$: Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. $$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$$. Ответ: $$(3x - 5)(3x + 5)$$ б) $$-3a^2 + 6a - 3$$: Вынесем -3 за скобки: $$-3(a^2 - 2a + 1)$$. Заметим, что в скобках квадрат разности: $$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$$. $$-3(a - 1)^2$$. Ответ: $$-3(a - 1)^2$$ в) $$y^3 - 8x^3$$: Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. $$y^3 - 8x^3 = y^3 - (2x)^3 = (y - 2x)(y^2 + 2xy + 4x^2)$$. Ответ: $$(y - 2x)(y^2 + 2xy + 4x^2)$$ 3. Решите уравнение $$(4x + 1)^2 - (4x + 3)(4x - 3) = 6x - 2$$. Сначала раскроем скобки: $$(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(1) + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$$. $$(4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$$. Теперь подставим в уравнение: $$16x^2 + 8x + 1 - (16x^2 - 9) = 6x - 2$$. $$16x^2 + 8x + 1 - 16x^2 + 9 = 6x - 2$$. $$8x + 10 = 6x - 2$$. $$8x - 6x = -2 - 10$$. $$2x = -12$$. $$x = -6$$. Ответ: $$x = -6$$ 4. Докажите, что выражение $$4x^2 - 4xy + 2y^2$$ может принимать только неотрицательные значения. Преобразуем выражение: $$4x^2 - 4xy + 2y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 + y^2 = (2x - y)^2 + y^2$$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $$(2x - y)^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $$(2x - y)^2 + y^2 \ge 0$$. Таким образом, выражение $$4x^2 - 4xy + 2y^2$$ может принимать только неотрицательные значения. Доказано.