Заполните таблицу, отметив знаки «+» (да) и «-» (нет). № 1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого. №2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Для начала заполним таблицу:

№ 1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

Пусть один из углов, образованных диагональю и стороной ромба, равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 30^{circ}$$. Поскольку диагональ ромба является биссектрисой его угла, то угол ромба, прилежащий к стороне, равен $$2x$$, а другой угол ромба, прилежащий к той же стороне, равен $$2(x + 30^{circ}) = 2x + 60^{circ}$$. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Составим уравнение:

$$2x + 2x + 60^{circ} = 180^{circ}$$ $$4x = 120^{circ}$$ $$x = 30^{circ}$$

Тогда углы ромба равны:

$$2x = 2 cdot 30^{circ} = 60^{circ}$$ $$2x + 60^{circ} = 60^{circ} + 60^{circ} = 120^{circ}$$

Следовательно, углы ромба равны $$60^{circ}$$, $$120^{circ}$$, $$60^{circ}$$, $$120^{circ}$$.

Ответ: $$60^{circ}$$, $$120^{circ}$$, $$60^{circ}$$, $$120^{circ}$$.

№2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, треугольник, образованный половинами диагоналей, является равнобедренным. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Следовательно, углы при основании этого треугольника равны:

$$rac{180^{circ} - 80^{circ}}{2} = rac{100^{circ}}{2} = 50^{circ}$$

Угол между диагональю и большей стороной прямоугольника равен 50°. Тогда угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника равен:

$$90^{circ} - 50^{circ} = 40^{circ}$$

Ответ: $$50^{circ}$$, $$40^{circ}$$.