Заполните таблицу. Вычислите точные значения дисперсии и стандартного отклонения. Найденные значения округлите до сотых.

Заполним таблицу, используя заданное среднее значение $$\overline{x} = 51$$.

1. Отклонение от среднего:

   • Для 48 спичек: $$48 - 51 = -3$$
   • Для 49 спичек: $$49 - 51 = -2$$
   • Для 50 спичек: $$50 - 51 = -1$$
   • Для 51 спички: $$51 - 51 = 0$$
   • Для 52 спичек: $$52 - 51 = 1$$
   • Для 53 спичек: $$53 - 51 = 2$$

2. Квадрат отклонения:

   • Для 48 спичек: $$(-3)^2 = 9$$
   • Для 49 спичек: $$(-2)^2 = 4$$
   • Для 50 спичек: $$(-1)^2 = 1$$
   • Для 51 спички: $$(0)^2 = 0$$
   • Для 52 спичек: $$(1)^2 = 1$$
   • Для 53 спичек: $$(2)^2 = 4$$

Теперь вычислим дисперсию $$S^2$$ и стандартное отклонение $$S$$.

1. Дисперсия:

   Сначала вычислим сумму произведений квадратов отклонений на количество коробков:

   $$ \sum (x - \overline{x})^2 \cdot f = (9 \cdot 1) + (4 \cdot 2) + (1 \cdot 7) + (0 \cdot 9) + (1 \cdot 6) + (4 \cdot 4) = 9 + 8 + 7 + 0 + 6 + 16 = 46 $$

   Затем разделим полученную сумму на общее количество коробок (30):

   $$S^2 = \frac{46}{30} = \frac{23}{15} \approx 1.53$$

2. Стандартное отклонение:

   Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии:

   $$S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{23}{15}} \approx \sqrt{1.53} \approx 1.24$$

Ответ:

• Дисперсия: $$S^2 = \frac{23}{15} \approx 1.53$$
• Стандартное отклонение: $$S = \sqrt{\frac{23}{15}} \approx 1.24$$

Итоговый результат:

• $$S^2 = 1.53$$
• $$S = 1.24$$