4. Заряд -д, помещенный в точку А, у, сма создает в точке С электростатическое поле, потенциал которого Фо (рис. 58). Определите потенциал в точке D в случае, если заряд 4д поместить в точку В, а заряд -29 — в точку Е. 10- D E 8- 6- C 4 2- A B 0 2 4 6 8 10 х, см Рис. 58

Пусть φ₀ — потенциал в точке C, созданный зарядом -q в точке A.

Потенциал точечного заряда определяется формулой:

$$φ = k \frac{q}{r}$$

где k — электростатическая постоянная, q — величина заряда, r — расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал.

Из рисунка 58 видно, что координаты точек следующие:

• A(2, 2);
• B(10, 2);
• C(6, 6);
• D(2, 10);
• E(10, 10).

Найдем расстояния между точками:

• AC = √((6-2)² + (6-2)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2 см

По условию, потенциал в точке C, созданный зарядом -q в точке A, равен φ₀:

$$φ_0 = k \frac{-q}{4\sqrt{2}}$$

Теперь рассмотрим случай, когда в точке B находится заряд 4q, а в точке E — заряд -2q. Найдем потенциал в точке D, созданный этими зарядами.

Расстояния:

• BD = √((2-10)² + (10-2)²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 см
• ED = √((2-10)² + (10-10)²) = √(64 + 0) = √64 = 8 см

Потенциал в точке D, созданный зарядом 4q в точке B:

$$φ_B = k \frac{4q}{8\sqrt{2}} = k \frac{q}{2\sqrt{2}}$$

Потенциал в точке D, созданный зарядом -2q в точке E:

$$φ_E = k \frac{-2q}{8} = -k \frac{q}{4}$$

Общий потенциал в точке D:

$$φ_D = φ_B + φ_E = k \frac{q}{2\sqrt{2}} - k \frac{q}{4}$$

Выразим φ_D через φ₀:

Т.к. $$φ_0 = k \frac{-q}{4\sqrt{2}}$$ ⇒ $$q = -\frac{4 \sqrt{2} φ_0}{k}$$

Подставим это выражение для q в формулу для φ_D:

$$φ_D = k \frac{-\frac{4 \sqrt{2} φ_0}{k}}{2\sqrt{2}} - k \frac{-\frac{4 \sqrt{2} φ_0}{k}}{4} = -2 φ_0 + \sqrt{2} φ_0 = (\sqrt{2} - 2) φ_0$$

Ответ: (√2 - 2)φ₀