Завдання 5 (3б) Пряма МС перпендикулярна до площини квадрата ABCD. Знайдіть МА, якщо ВА = 3 см, МВ = 3√3 см.

Завдання 5

За умовою, \( MC \perp \) площини квадрата \( ABCD \). Це означає, що \( MC \perp CD \) та \( MC \perp BC \).

Розглянемо прямокутний трикутник \( \triangle BCD \). Оскільки \( ABCD \) — квадрат, то \( BC = CD = AB = 3 \) см.

За теоремою Піфагора в \( \triangle BCD \): \( BD^2 = BC^2 + CD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \). Отже, \( BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.

Тепер розглянемо прямокутний трикутник \( \triangle MCB \). Він прямокутний, бо \( MC \perp BC \).

За теоремою Піфагора в \( \triangle MCB \): \( MB^2 = MC^2 + BC^2 \). Підставимо відомі значення: \( (3\sqrt{3})^2 = MC^2 + 3^2 \). \( 27 = MC^2 + 9 \). \( MC^2 = 27 - 9 = 18 \). \( MC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.

Нарешті, розглянемо прямокутний трикутник \( \triangle MCA \). Він прямокутний, бо \( MC \perp AC \).

Спочатку знайдемо довжину діагоналі \( AC \) квадрата. У квадраті діагоналі рівні, тому \( AC = BD = 3\sqrt{2} \) см.

За теоремою Піфагора в \( \triangle MCA \): \( MA^2 = MC^2 + AC^2 \). \( MA^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36 \). \( MA = \sqrt{36} = 6 \) см.

Відповідь: МА = 6 см.