72 2*+2=5 2*=4 жүйесінің шешімдерін табыңыз

Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 2^x + 2^y = 5 \\ 2^x \cdot 2^y = 4 \end{cases} \]

Шаг 1: Заметим, что 2^x * 2^y = 2^(x+y)

Из второго уравнения:

\[ 2^{x+y} = 4 = 2^2 \\ x + y = 2 \]

Шаг 2: Введем замену переменных:

Пусть a = 2^x и b = 2^y. Тогда система примет вид:

\[ \begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 4 \end{cases} \]

Шаг 3: Решим систему относительно a и b:

Из первого уравнения выразим a: a = 5 - b. Подставим во второе уравнение:

\[ (5 - b)b = 4 \\ 5b - b^2 = 4 \\ b^2 - 5b + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 \\ b_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \\ b_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Тогда a_1 = 5 - 4 = 1 и a_2 = 5 - 1 = 4

Получаем два набора решений:

a = 1, b = 4 или a = 4, b = 1

Шаг 4: Найдем x и y:

Случай 1: a = 1, b = 4

\[ 2^x = 1 \Rightarrow x = 0 \\ 2^y = 4 \Rightarrow y = 2 \]

Случай 2: a = 4, b = 1

\[ 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \\ 2^y = 1 \Rightarrow y = 0 \]

Ответ:

Решения системы уравнений:

(x = 0, y = 2) или (x = 2, y = 0)