ZMCB1-?

Дано, что ∠ABA1 = ∠CBA1, следовательно BA1 - биссектриса угла ∠ABC. Аналогично, CB1 - биссектриса угла ∠BCA. Угол ∠A1MB1 = 128°.

Сумма углов четырехугольника равна 360°. Рассмотрим четырехугольник A1BMA. Тогда ∠BA1A + ∠A + ∠B1MA + ∠MB1A = 360°.

∠BMA = 180° - ∠A1MB1 = 180° - 128° = 52°.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, т.е. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Поскольку BA1 и CB1 - биссектрисы, то ∠B = 2∠MBA и ∠C = 2∠MCB.

Таким образом, ∠A + 2∠MBA + 2∠MCB = 180°.

В треугольнике MBC: ∠MBC + ∠MCB + ∠BMC = 180°, т.е. ∠MBC + ∠MCB = 180° - 52° = 128°.

Тогда ∠A = 180° - 2(∠MBC + ∠MCB) = 180° - 2 * 128° = 180° - 256° = -76°. Что невозможно.

Предположим, что ∠A1MB1 - внешний угол при вершине M треугольника AMB.

Тогда ∠AMB = 180 - 128 = 52°.

∠MBA + ∠MCB = (180 - ∠A)/2

∠A + ∠B + ∠C = 180

∠B = 2∠MBA

∠C = 2∠MCB

∠MBA + ∠MCB = 128/2 = 64°.

Рассмотрим треугольник BCB1. Нам нужно найти ∠MCB1 = ∠MCB.

∠MCB = 64°.

Ответ: 64°