Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см, а висота, проведена до основи, дорівнює відрізку, що сполучає середини основи й бічної сторони.

Нехай ABC – рівнобедрений трикутник, де AB = BC, AC – основа. Нехай M – середина AC, а N – середина BC. За умовою, висота, проведена до основи, дорівнює MN. Позначимо висоту як BH, де H лежить на AC. Таким чином, BH = MN.

Оскільки MN – середня лінія трикутника ABC, то MN паралельна AB і MN = 1/2 * AB.

Нехай BH = x. Тоді MN = x. Отже, AB = 2x.

Розглянемо прямокутний трикутник ABH. За теоремою Піфагора, маємо:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

Оскільки AH = 1/2 * AC (бо BH – висота в рівнобедреному трикутнику, а отже, і медіана), то AH = 1/2 * 12 = 6 см.

Підставимо відомі значення у теорему Піфагора:

$$(2x)^2 = 6^2 + x^2$$

$$4x^2 = 36 + x^2$$

$$3x^2 = 36$$

$$x^2 = 12$$

$$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Отже, BH = $$2\sqrt{3}$$ см.

Площа трикутника ABC обчислюється за формулою:

$$S = \frac{1}{2} * AC * BH$$

Підставимо відомі значення:

$$S = \frac{1}{2} * 12 * 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$

Відповідь: Площа трикутника дорівнює $$12\sqrt{3}$$ см².