Знайти точки екстремуму та екстремуми функції $$f(x) = -x^3 + 27x + 4$$.

Знайдемо точки екстремуму функції $$f(x) = -x^3 + 27x + 4$$. 1. Знайдемо похідну функції: $$f'(x) = -3x^2 + 27$$ 2. Знайдемо критичні точки (точки, де похідна дорівнює нулю або не існує): $$-3x^2 + 27 = 0$$ $$3x^2 = 27$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Отже, критичні точки: $$x_1 = -3$$ та $$x_2 = 3$$. 3. Визначимо знак похідної на кожному проміжку: * $$(-\infty, -3)$$: виберемо $$x = -4$$, $$f'(-4) = -3(-4)^2 + 27 = -3(16) + 27 = -48 + 27 = -21 < 0$$. Отже, функція спадає. * $$(-3, 3)$$: виберемо $$x = 0$$, $$f'(0) = -3(0)^2 + 27 = 27 > 0$$. Отже, функція зростає. * $$(3, \infty)$$: виберемо $$x = 4$$, $$f'(4) = -3(4)^2 + 27 = -3(16) + 27 = -48 + 27 = -21 < 0$$. Отже, функція спадає. 4. Визначимо характер критичних точок: * $$x = -3$$: функція спадає зліва і зростає справа, отже, це точка локального мінімуму. * $$x = 3$$: функція зростає зліва і спадає справа, отже, це точка локального максимуму. 5. Знайдемо значення функції в точках екстремуму: * $$y_{min} = f(-3) = -(-3)^3 + 27(-3) + 4 = -(-27) - 81 + 4 = 27 - 81 + 4 = -50$$ * $$y_{max} = f(3) = -(3)^3 + 27(3) + 4 = -27 + 81 + 4 = 58$$ Відповідь: $$x_{max} = 3$$, $$y_{max} = 58$$ $$x_{min} = -3$$, $$y_{min} = -50$$