ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 749

\[\boxed{\text{749.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

Пояснение.

Решение.

\[Если\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\ \]

\[делится\ на\ 6,\ то\ значит\ оно\ \]

\[делится\ на\ 2\ и\ на\ 3.\ \]

\[Докажем\ делимость\ на\ 2.\]

\[Если\ \text{n\ }четное,\ то\ \]

\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) - кратно\ 2;\]

\[если\ n - нечетное,\ то\ \]

\[(7n + 1) - четное,\ а\ значит,\]

\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) - кратно\ 2.\]

\[Теперь\ докажем\ делимость\ \]

\[на\ 3.\]

\[1)\ если\ \text{n\ }делится\ на\ 3,\ то\ \ \]

\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]

\[тоже\ делится\ на\ 3.\]

\[2)\ если\ n\ не\ делится\ на\ 3,\ то\ \]

\[остаток\ равен\ 1\ или\ 2.\]

\[Рассмотрим\ случай,\ когда\ \]

\[остаток\ равен\ 1:\ \]

\[тогда\ n = 3k + 1.\]

\[2n + 1 = 2 \cdot (3k + 1) + 1 =\]

\[= 6k + 2 + 1 = 6k + 3 =\]

\[= 3 \cdot (2k + 1) - кратно\ 3,\ \]

\[значит,\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]

\[делится\ на\ 3.\]

\[Расмотрим\ случай,\ когда\ \]

\[остаток\ равен\ 2:\ \]

\[тогда\ n = 3k + 2.\]

\[7n + 1 = 7 \cdot (3k + 2) + 1 =\]

\[= 21k + 14 + 1 = 21k + 15 =\]

\[= 3 \cdot (7k + 5) - кратно\ 3 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]

\[делится\ на\ 3.\]

\[3)\ Так\ как\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\text{\ \ }\]

\[делится\ на\ 2\ и\ на\ 3\ без\ остатка\ \]

\[при\ любом\ натуральном\ n,\ то\ \]

\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\ \ делится\ \]

\[на\ 6.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]