ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 1091

\[\boxed{\text{1091\ (1091).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

При решении используем следующие правила:

1. Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

2. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

4. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

5. Тройная дробь:

\[\frac{\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ c =}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b \bullet c}}\]

6. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

7. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

8. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть, поменяв местами числитель со знаменателем):

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a \bullet d}}{\mathbf{b \bullet c}}\mathbf{.}\]

9. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{2^{m} \cdot 3^{n - 1} - 2^{m - 1} \cdot 3^{n}}{2^{m} \cdot 3^{n}} =\]

\[= \frac{2^{m} \cdot \frac{3^{n}}{3} - \frac{2^{m}}{2} \cdot 3^{n}}{2^{m} \cdot 3^{n}} =\]

\[= \frac{\frac{2^{m}3^{n}}{3} - \frac{2^{m}3^{n}}{2}}{2^{m} \cdot 3^{n}} =\]

\[= \frac{2 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} - 2^{m} \cdot 3 \cdot 3^{n}}{\frac{6}{2^{m} \cdot 3^{n}}} =\]

\[= \frac{2^{m} \cdot 3^{n}(2 - 3)}{6 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n}} = \frac{2 - 3}{6} = - \frac{1}{6}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{5^{n + 1} \cdot 2^{n - 2} + 5^{n - 2} \cdot 2^{n - 1}}{10^{n - 2}} =\]

\[= \frac{5^{n} \cdot 5 \cdot \frac{2^{n}}{2^{2}} + \frac{5^{n}}{5^{2}} \cdot \frac{2^{n}}{2}}{\frac{10^{n}}{10^{2}}} =\]

\[= \frac{5^{3} \cdot 5^{n} \cdot 2^{n} + 2 \cdot 2^{n} \cdot 5^{n}}{5^{2} \cdot 2^{2}} \cdot \frac{10^{2}}{10^{n}} =\]

\[= \frac{2^{n} \cdot 5^{n}\left( 5^{3} + 2 \right)}{10^{n}} = 125 + 2 =\]

\[= 127\]

\[\textbf{в)}\ \frac{5^{m} \cdot 4^{n}}{5^{m - 2} \cdot 2^{2n} + 5^{m} \cdot 2^{2n - 1}} =\]

\[= \frac{5^{m} \cdot 4^{n}}{\frac{5^{m}}{5^{2}} \cdot 2^{2n} + 5^{m} \cdot \frac{2^{2n}}{2}} =\]

\[= \frac{5^{m} \cdot 4^{n}}{\frac{5^{m} \cdot 2^{2n} \cdot 2 + 5^{2} \cdot 5^{m} \cdot 2^{2n}}{2 \cdot 5^{2}}} =\]

\[= \frac{5^{m} \cdot 4^{n} \cdot 2 \cdot 5^{2}}{2^{2n} \cdot 5^{m} \cdot \left( 2 + 5^{2} \right)} = \frac{50}{27} =\]

\[= 1\frac{23}{27}\]

\[\textbf{г)}\ \frac{21^{n}}{3^{n - 1}7^{n + 1} + 3^{n}7^{n}} =\]

\[= \frac{3^{n} \cdot 7^{n}}{\frac{3^{n}}{3} \cdot 7^{n} \cdot 7 + 3^{n}7^{n}} =\]

\[= \frac{3^{n} \cdot 7^{n}}{\frac{3^{n} \cdot 7^{n} \cdot 7 + 3^{n} \cdot 7^{n} \cdot 3}{3}} =\]

\[= \frac{3 \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}}{3^{n} \cdot 7^{n}(7 + 3)} = \frac{3}{10} = 0,3\]