ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 1092

\[\boxed{\text{1092\ (1092).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Теорема Виета. Для квадратного уравнения вида \(\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c = 0}\), где a, b и c – любые числа и a ≠ 0:

\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{;}\]

\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet \ }\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

2. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

3. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

4. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

5. Свойства уравнений:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

6. Тройная дробь:

\[\frac{\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ c =}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b \bullet c}}\]

7. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

Решение.

\[nx^{2} - 5x + 1 = 0\]

\[x_{1}^{- 2} + x_{2}^{- 2} = 13\]

\[x_{1}^{- 2} + x_{2}^{- 2} = \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} =\]

\[= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2}} =\]

\[= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} =\]

\[= \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})²} = 13\ (1)\]

\[nx² - 5x + 1 = 0\ \ |\ :n\]

\[x^{2} - \frac{5}{n}x + \frac{1}{n} = 0,\]

\[\text{\ \ }по\ т.\ Виета:\]

\[\frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = 13\]

\[\frac{\left( \frac{5}{n} \right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{n}}{\left( \frac{1}{n} \right)^{2}} = 13\]

\[\frac{\frac{25}{n^{2}} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^{2}}} = 13\]

\[\frac{25 - 2n}{n^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{1} = 13\]

\[25 - 2n = 13\]

\[- 2n = 13 - 25\]

\[- 2n = - 12\]

\[n = 6\]

\[Ответ:n = 6.\]