\[\boxed{\text{565\ (565).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[S = 4\ 500\ см^{2}\]
\[a = 120\ см\]
\[Пусть\ \text{b\ }см - ширина\ доски\ и\ \]
\[сторона\ квадрата.\]
\[(b + 120)\ см - первоначальная\]
\[\ длина\ доски.\]
\[S = a \cdot b = 4500\ см.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[(120 + b) \cdot b = 4\ 500\]
\[120b + b^{2} - 4500 = 0\]
\[b^{2} + 120b - 4500 = 0\]
\[D_{1} = (60)^{2} + 4500 =\]
\[= 3600 + 4500 = 8100\]
\[b_{1} = - 60 - 90 = - 150\ \]
\[(не\ подходит\ по\ условию).\]
\[b_{2} = - 60 + 90 = 30\ (см) -\]
\[сторона\ получившегося\ \]
\[квадрата.\]
\[Ответ:30\ см.\ \]