\[\boxed{\text{567\ (567).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Схематический\ рисунок:\]
\[Пусть\ \text{c\ }см - гипотенуза\ \]
\[прямугольного\ треугольника.\]
\[b = c - 3\ см - один\ катет;\]
\[a = c - 6\ см - второй\ катет.\]
\[Теорема\ Пифагора:\]
\[a^{2} + b^{2} = c^{2}.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[(c - 6)^{2} + (c - 3)^{2} = c^{2}\]
\[c^{2} - 12c + 36 + c^{2} - 6c + 9 - c^{2} =\]
\[= 0\]
\[c^{2} - 18c + 45 = 0\]
\[D_{1} = 9^{2} - 45 = 81 - 45 = 36\]
\[c_{1} = 9 + 6 = 15\ см;\]
\[c_{2} = 9 - 6 = 3\ см.\]
\[при\ c = 15\ см:\ \ \ \ \]
\[a = c - 6 = 15 - 6 = 9\ см;\ \]
\[b = c - 3 = 15 - 3 = 12\ см.\]
\[при\ c = 3\ см:\ \ \ \]
\[a = c - 6 = 3 - 6 = - 3\ (см) -\]
\[не\ подходит\ по\ условию;\]
\[b = c - 3 = 3 - 3 = 0\ см\ \]
\[(не\ может\ быть).\]
\[Ответ:c = 15\ см.\ \]