\[\boxed{\text{740\ (740).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Знаки сравнения:
\(> \ - \ \)больше;
\(\mathbf{<} -\) меньше.
При решении используем следующее:
1. Формулу суммы кубов:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:
\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]
2. Способ группировки:
1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;
\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+ b}\mathbf{x} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a +}\mathbf{5}\mathbf{b} \right)\]
2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;
\[\mathbf{x}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\]
3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.
\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]
3. Формулу квадрата разности:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:
\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]
4. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:
\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]
\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]
Решение.
\[a > 0,\ \ b > 0,\ \ a \neq b\]
\[Допустим\ \ a^{3} + b^{3} > ab(a + b)\]
\[a^{3} + b^{3} - ab(a + b) =\]
\[= (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right) =\]
\[= (a + b)\left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right) =\]
\[= (a + b)(a - b)^{2} > 0 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow a^{3} + b^{3} > ab(a + b) -\]
\[верно.\]