Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 745

\[\boxed{\text{745\ (745).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

ОДЗ – множество всех допустимых значений переменных (буквы x, y и т.д.) для данного выражения.

Решить уравнение – это значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений нет.

Уравнения вида \(\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c = 0}\), где a, b и c – любые числа и a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

Дискриминант – это формула, благодаря которой можно найти корни заданного квадратного уравнения:

\[\mathbf{D =}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 4ac.}\]

Формулы корней уравнения:

\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- b +}\sqrt{\mathbf{D}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- b -}\sqrt{\mathbf{D}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{.}\]

При решении уравнений используем следующее:

1. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как делить на ноль нельзя.

2. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

3. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

4. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]

5. Формулу умножения многочлена на многочлен – каждое число из первой скобки умножить на каждое число из второй:

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{c + d} \right)\mathbf{= ac + ad + bc + bd.}\]

6. Свойства уравнений:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

\[\textbf{а)}\ \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x - 2},\ \]

\[\ ОДЗ:\ \ x - 2 \neq 0,\ \ x \neq 2\]

\[\frac{5}{x} = \frac{2 \cdot (x - 2) - 3}{x - 2}\]

\[5 \cdot (x - 2) = x(2x - 4 - 3)\]

\[5x - 10 = 2x^{2} - 7x\]

\[2x² - 12x + 10 = 0\ \ \ \ |\ :2\]

\[x^{2} - 6x + 5 = 0\]

\[D = 36 - 20 = 16\]

\[x_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{2} = 5;\ 1 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow подходят\ по\ ОДЗ.\]

\[Ответ:x = 5;x = 1.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{3}{2x - 1} = 5x - 9,\]

\[\text{\ \ }ОДЗ:\ \ 2x - 1 \neq 0,\ \ 2x \neq 1,\]

\[\ \ x \neq \frac{1}{2}\]

\[\frac{3}{2x - 1} = \frac{5x - 9}{1}\]

\[(2x - 1)(5x - 9) = 3\]

\[10x^{2} - 18x - 5x + 9 = 3\]

\[10x^{2} - 23x + 6 = 0\]

\[D = 529 - 240 = 289\]

\[x_{1,2} = \frac{23 \pm 17}{20} = 0,3;\ \ 2 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow подходят\ по\ ОДЗ.\]

\[Ответ:x = 0,3;x = 2.\]

\[\boxed{\text{745.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ a^{2} + 4a + 11 = a^{2} + 4a + 4 +\]

\[+ 7 = (a + 2)^{2} + 7 > 0\]

\[так\ как\ (a + 2)^{2} > 0\ при\ всех\ a,\]

\[\ и\ 7\ > 0,\ что\ и\ требовалось\ \]

\[доказать\]

\[\textbf{б)}\frac{x^{2} - 2x + 7}{19} =\]

\[= \frac{x^{2} - 2x + 1 + 6}{19} =\]

\[= \frac{(x - 1)^{2} + 6}{19} =\]

\[= \frac{(x - 1)^{2}}{19} + \frac{6}{19} > 0,\]

\[так\ как\frac{(x - 1)^{2}}{19} > 0\ при\ всех\ x\ \]

\[и\ \frac{6}{19} > 0 - что\ и\ требовалось\ \]

\[доказать.\]

\[\textbf{в)}\ m^{2} - 4m + 51 = m^{2} - 4m +\]

\[+ 4 + 47 = (m - 2)^{2} + 47 > 0,\]

\[так\ как\ (m - 2)^{2} > 0\ при\ всех\ \]

\[m\ и\ 47 > 0 - что\ и\ требовалось\ \]

\[доказать.\]

\[\textbf{г)}\frac{p^{2} - 6p + 18}{p^{2} + 1} =\]

\[= \frac{p^{2} - 6p + 9 + 9}{p^{2} + 1} =\]

\[= \frac{(p - 3)^{2} + 9}{p^{2} + 1} > 0,\]

\[так\ как\ (p - 3)^{2} > 0\ при\ всех\ p\]

\[\ и\ p^{2} > 0,\ 9 > 0,\ 1 > 0 - что\ и\ \]

\[требовалось\]

\[доказать.\]

\[\textbf{д)}\ 2b^{2} - 8b + 20 = 2 \cdot\]

\[\cdot \left( b^{2} - 4b + 10 \right) =\]

\[= 2 \cdot \left( b^{2} - 4b + 4 + 6 \right) =\]

\[= 2 \cdot \left( (b - 2)^{2} + 6 \right) > 0,\ так\ \]

\[как\ (b - 2)^{2} > 0\ при\ всех\ \]

\[b\ и\ 6 > 0,\ 2 > 0 -\]

\[что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{е)}\frac{2c^{2} + 18}{c^{2} + 12c + 40} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( c^{2} + 9 \right)}{c^{2} + 12c + 36 + 4} =\]

\[= \frac{2 \cdot \left( c^{2} + 9 \right)}{(c + 6)^{2} + 4} > 0,\ так\ \]

\[как\ c^{2} > 0\]

\[при\ любых\ c,\ (c + 6)^{2} > 0\ при\]

\[любых\ c,\ 2 > 0,\ 4 > 0 - что\ и\ \]

\[требовалось\ \]

\(доказать.\)