ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 905

\[\boxed{\text{905\ (905).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(> \ - \ \)больше;

\(\mathbf{<} -\) меньше;

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b + c} \right)\mathbf{= ab + ac.}\]

3. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ a² + b² + 4 \geq 2 \cdot (a + b + 1)\]

\[a^{2} + b^{2} + 4 - 2 \cdot (a + b + 1) \geq\]

\[\geq 0\]

\[a² + b² + 4 - 2a - 2b - 2 \geq 0\]

\[a^{2} - 2a - 2 + b^{2} - 2b + 4 \geq 0\]

\[(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geq 0\]

\[(a - 1)^{2} \geq 0,\]

\[\text{\ \ }(b - 1)^{2} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow верно\ при\ любых\ \text{a\ }и\ b.\]

\[\Longrightarrow a^{2} + b^{2} + 4 \geq\]

\[\geq 2 \cdot (a + b + 1) \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ 4a² + b² > 4 \cdot (a + b - 2)\]

\[4a^{2} + b^{2} - 4 \cdot (a + b - 2) > 0\]

\[4a^{2} + b^{2} - 4a - 4b + 8 > 0\]

\[(2a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + 3 \geq 0\]

\[(2a + 1)^{2} \geq 0,\ \ (b - 2)^{2} \geq 0,\]

\[\ \ 3 \geq 0\]

\[верно\ при\ любых\ a\ и\ b.\]

\[\Longrightarrow 4a^{2} + b^{2} >\]

\[> 4 \cdot (a + b - 2) \Longrightarrow ч.т.д.\]