ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 906

\[\boxed{\text{906\ (906).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(> \ - \ \)больше;

\(\mathbf{<} -\) меньше;

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении уравнений используем следующее:

1. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

2. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

3. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

4. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]

5. Формулу суммы кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

6. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+ b}\mathbf{x} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a +}\mathbf{5}\mathbf{b} \right)\]

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

\[\mathbf{x}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\]

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

7. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

8. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

Решение.

\[x > 0,\ \ y > 0\]

\[\textbf{а)}\ \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} \geq \frac{y + x}{\text{xy}}\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} - \frac{y + x}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy - xy \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]

\[Ответ:неравенство\ будет\ \]

\[выполняться\ при\ x > 0\ \ и\ \]

\[\ y > 0.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq x + y\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{\text{xy}} - (x + y) \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} - xy \right)}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{\text{xy}} \geq 0\]

\[Ответ:неравенство\ будет\ \]

\[выполнено\ при\ x > 0\ и\ y > 0.\]