\[\boxed{\text{968\ (968).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
аn (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 34=3*3*3*3=81.
Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:
\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]
При решении используем следующее:
1. При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем (число, которое делится на 2 без остатка) получается положительное число:
\[\mathbf{(}\mathbf{- 3)}^{\mathbf{4}}\mathbf{= 81.}\]
2. При возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем (число, которое не делится на 2 без остатка) получается отрицательное число:
\[\mathbf{(}\mathbf{- 3)}^{\mathbf{3}}\mathbf{= - 27.}\]
3. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:
\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]
4. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:
\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]
5. Чтобы десятичную дробь перевести в обыкновенную, нужно число после запятой поставить в числитель, а в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д. (количество нулей зависит от того, сколько цифр после запятой).
Например, \(\mathbf{0,125 =}\frac{\mathbf{125}}{\mathbf{1000}}\mathbf{.}\ \)
6. Чтобы представить смешанное число (состоит из целой и дробной частей: \(\mathbf{n}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\mathbf{\ }\)) в виде неправильной дроби (числитель больше знаменателя), надо умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению добавить числитель. Сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений:
\[\mathbf{n}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n \bullet y + x}}{\mathbf{y}}\mathbf{.}\]
Решение.
\[\textbf{а)}\ 4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}\]
\[\textbf{б)}\ ( - 3)^{- 3} = \frac{1}{( - 3)^{3}} = - \frac{1}{27}\]
\[\textbf{в)}\ ( - 1)^{- 9} = \frac{1}{( - 1)^{9}} = - 1\]
\[\textbf{г)}\ ( - 1)^{- 20} = \frac{1}{( - 1)^{20}} = 1\]
\[\textbf{д)}\ \left( \frac{1}{7} \right)^{- 2} = 7² = 49\]
\[\textbf{е)}\ \left( - \frac{2}{3} \right)^{- 3} = \left( - \frac{3}{2} \right)^{3} = - \frac{27}{8}\]
\[\textbf{ж)}\ \left( 1\frac{1}{2} \right)^{- 5} = \left( \frac{3}{2} \right)^{- 5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{5} =\]
\[= \frac{32}{243}\]
\[\textbf{з)}\ \left( - 2\frac{2}{5} \right)^{- 2} = \left( - \frac{12}{5} \right)^{- 2} =\]
\[= \left( - \frac{5}{12} \right)^{2} = \frac{25}{144}\]
\[\textbf{и)}\ {0,01}^{- 2} = 100² = 10\ 000\]
\[к)\ {1,125}^{- 1} = \left( \frac{9}{8} \right)^{- 1} = \frac{8}{9}\]