ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 641

\[\boxed{\text{641\ (641).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[В\ равностороннем\ треугольнике\ высота\ является\ медианой\ и\ \]

\[биссектрисой.\ Пусть\ высота\ равна\ h.\ По\ теореме\ Пифагора:\]

\[a_{n}^{2} - \left( \frac{a_{n}}{2} \right)^{2} = h^{2},\ \ h^{2} = \left( a_{n} \right)^{2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{4} \right),\]

\[h^{2} = \frac{3}{4} \cdot a_{n}^{2} \cdot h_{n + 1} = \frac{{\sqrt{3}a}_{n}}{2}.\]

\[Периметр\ треугольника,\ получившегося\ из\ высоты,\ равен\ \]

\[\ p_{n + 1} = 3h_{n} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3a_{n} = \frac{\sqrt{3}}{2}p_{n}.\]

\[Значит,\ периметры\ треугольников\ \ образуют\ геометрическую\ \]

\[прогрессию:p_{1} = 3 \cdot 8 = 24;\ \ \ \ \ q = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[p_{6} = 24 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{5} = \frac{2³ \cdot 3 \cdot 9\sqrt{3}}{2^{5}} = \frac{27\sqrt{3}}{4}\ (см).\]

\[Ответ:\ \frac{27\sqrt{3}}{4}\ см.\]