ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 664

\[\boxed{\text{664}\text{\ (664)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Формула\ верна\ при\ n = 1:\ \ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 1}.\]

\[Допустим,\ что\ при\ n = k,\ формула\ тоже\ верна \Longrightarrow то\ есть,\]

\[\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}.\]

\[Докажем,\ что\ формула\ справедлива\ для\ n = k + 1:\]

\[\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} =\]

\[= \frac{1}{(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{(k + 1)} \cdot \left( k + \frac{1}{k + 2} \right) =\]

\[= \frac{1}{(k + 1)} \cdot \frac{k² + 2k + 1}{k + 2} = \frac{(k + 1)²}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2} \Longrightarrow ч.т.д.\]