\[\boxed{\text{665}\text{\ (665)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Формула\ верна\ при\ n = 1:\ \ 1 \cdot (3 + 1) = 4 = 1 \cdot (1 + 1)².\]
\[Допустим,\ что\ при\ n = k,\ формула\ тоже\ верна \Longrightarrow то\ есть,\]
\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1) = k(k + 1)^{2}.\]
\[Докажем,\ что\ формула\ справедлива\ для\ n = k + 1:\]
\[1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + k(3k + 1) + (k + 1)\left( 3 \cdot (k + 1) + 1 \right) =\]
\[= k(k + 1)^{2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left( k(k + 1) + 3k + 4 \right) =\]
\[= (k + 1)\left( k^{2} + k + 3k + 4 \right) = (k + 1)(k + 2)^{2} \Longrightarrow ч.т.д.\]