ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Задание 1055

\[\boxed{\mathbf{1055.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]

\[AA_{1},\ BB_{1} - медианы;\]

\[AA_{1}\bot BB_{1}.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[\angle C - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ Введем\ обозначения:\]

\[\overrightarrow{CA_{1}} = \overrightarrow{a};\ \overrightarrow{CB_{1}} = \overrightarrow{b};\]

\[CA_{1} = CB_{1} = a.\]

\[Тогда:\ \]

\[\overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{CA_{1}} - \overrightarrow{\text{CA}} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b};\]

\[\overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{CB_{1}} - \overrightarrow{\text{CB}} = \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a};\]

\[\overrightarrow{AA_{1}} \bullet \overrightarrow{BB_{1}} = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} \right) =\]

\[= 5\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{b}.\]

\[2)\ \overrightarrow{AA_{1}}\bot\overrightarrow{BB_{1}} \Longrightarrow \ \overrightarrow{AA_{1}} \bullet \overrightarrow{BB_{1}} = 0.\]

\[3)\ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a^{2}\cos{\angle C};\ \]

\[\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{a} = a^{2};\ \]

\[\overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{b} = a^{2};\]

\[5a^{2}\cos{\angle C} - 4a^{2} = 0\]

\[\cos{\angle C} = \frac{4}{5} \Longrightarrow \angle C \approx 36{^\circ}52^{'}.\]

\[\mathbf{Ответ:\ }36{^\circ}52'.\]