ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Задание 569

\[\boxed{\mathbf{569.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[M \in AC;\]

\[N \in BD;\]

\[AM = MC;\]

\[BN = ND.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[1)\ MN \parallel AD;\]

\[2)\ MN = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Проведем\ через\ точку\ \text{M\ }\]

\[прямую\ MF:\]

\[MF \parallel AD.\]

\[2)\ AM = MC\ и\ MF \parallel AD:\]

\[CF = FD\ (по\ теореме\ Фалеса).\]

\[3)\ CF = FD\ и\ AM = MC:\]

\[\ MF - средняя\ линия.\]

\[4)\ MF \cap BD = N.\]

\[5)\ CF = FD\ и\ BN = ND:\]

\[NF - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow N \in MF.\]

\[6)\ MF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ACD:\]

\[\ MF = \frac{1}{2}\text{AD.}\]

\[7)\ NF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}BCD:\]

\[NF = \frac{1}{2}\text{BC.}\]

\[8)\ MN = MF - NF =\]

\[= \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[9)\ MN \in MF\ и\ \]

\[MF \parallel AD \Longrightarrow MN \parallel AD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]