\[\boxed{\mathbf{664.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[AB - хорда;\]
\[AM - касательная.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle MAB = \frac{1}{2} \cup AB.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AO = OB = r \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}AOB - равнобедренный:\]
\[\angle BAO = \angle ABO\ (по\ свойству).\]
\[2)\ \angle AOB =\]
\[= 180{^\circ} - \angle BAO - \angle ABO =\]
\[= 180{^\circ} - 2\angle BAO.\]
\[3)\ \angle AOB = \cup AB\ \]
\[(по\ теореме\ о\ центральном\ угле).\]
\[4)\ AM - касательная \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AM\bot OA:\]
\[\angle MAB = 90{^\circ} - \angle BAO.\]
\[5)\ \angle AOB = 2(90{^\circ} - \angle BAO) =\]
\[= \angle AOB = 2 \bullet \angle MAB\]
\[\cup AB = 2\angle MAB\]
\[\angle MAB = \frac{\cup AB}{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]