ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1009

\[\boxed{\mathbf{1009.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1} - медиана.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AA_{1} = \frac{1}{2} \bullet \sqrt{2AC^{2} + 2AB^{2} - BC^{2}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Дополнительное\ \]

\[построение:\ \]

\[продлим\ AA_{1}\ :AA_{1} = AA_{2} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow CABA_{2} - параллелограмм.\]

\[2)\ По\ свойству\ \]

\[параллелограмма:\]

\[\left( AA_{2} \right)^{2} + CB^{2} =\]

\[= AC^{2} + AB^{2} + \left( BA_{2} \right)^{2} + \left( CA_{2} \right)^{2}\]

\[\left( AA_{2} \right)^{2} = 2AC^{2} + 2AB^{2} - CB^{2}\]

\[\left( AA_{2} \right)^{2} =\]

\[= \frac{1}{4}\left( 2AC^{2} + 2AB^{2} - BC^{2} \right)\]

\[AA_{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^{2} + 2AB^{2} - BC^{2}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AN = CM.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AB = BC.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ CM =\]

\[= \frac{1}{2}\sqrt{2BC^{2} + 2AC^{2} - AB^{2}};\]

\[AN = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^{2} + 2AC^{2} - BC^{2}};\]

\[2)\ AN = CM\ (по\ условию):\]

\[\frac{1}{2}\sqrt{2BC^{2} + 2AC^{2} - AB^{2}} =\]

\[= \frac{1}{2}\sqrt{2AB^{2} + 2AC^{2} - BC^{2}}\]

\[2BC^{2} + 2AC^{2} - AB^{2} =\]

\[= 2AB^{2} + 2AC^{2} - BC^{2}\]

\[3BC^{2} = 3AB^{2} \Longrightarrow BC = AD:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]