ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1133

\[\boxed{\mathbf{1133.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[A_{1}A_{2}\ldots A_{12} - правильный\ \]

\[двенадцатиугольник;\]

\[A_{1}A_{6} \cap A_{2}A_{9} = B.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\textbf{а)}\ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}\text{B\ }и\ \mathrm{\Delta}A_{6}A_{9}B -\]

\[правильные;\]

\[\textbf{б)}\ A_{1}A_{6} = 2r.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[\textbf{а)}\ Правильный\ многоугольник\ \]

\[вписан\ в\ окружность,\ дуга\ \]

\[равна:\]

\[A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = \ldots = A_{11}A_{12} =\]

\[= 360{^\circ}:12 = 30{^\circ};\]

\[\angle A_{2}A_{1}B = \frac{1}{2} \cap A_{2}A_{4}A_{6} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 120{^\circ} = 60{^\circ};\]

\[\angle A_{1}A_{2}B = \frac{1}{2} \cap A_{1}A_{11}A_{9} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 120{^\circ} = 60{^\circ};\]

\[\angle A_{9}A_{6}B = \frac{1}{2} \cap A_{1}A_{11}A_{9} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 120{^\circ} = 60{^\circ};\]

\[\angle A_{9}A_{6}B = \frac{1}{2} \cap A_{2}A_{4}A_{6} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 120{^\circ} = 60{^\circ}.\]

\[Сумма\ углов\ \]

\[в\ треугольнике\ 180{^\circ}:\]

\[\angle A_{1}BA_{2} = \angle A_{6}BA_{9} = 60{^\circ};\]

\[\mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}\text{B\ }и\ \mathrm{\Delta}A_{6}A_{9}B -\]

\[правильные.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \angle A_{1}A_{6}A_{7} - вписанный;\]

\[\angle A_{1}A_{6}A_{7} = \frac{1}{2} \cap A_{1}A_{10}A_{7} = 90{^\circ}:\]

\[\ A_{6}A_{1}\bot A_{1}A_{12}\ и\ OH_{2}\bot A_{1}A_{12};\]

\[OH_{2} \parallel A_{1}A_{6}.\]

\[Так\ же:\]

\[\ \angle A_{12}A_{1}A_{6} = 90{^\circ};\ \]

\[A_{1}A_{6}\bot A_{6}A_{7}\ и\ OH_{1}\bot A_{6}A_{7};\]

\[OH_{1} \parallel A_{1}A_{6}.\]

\[Получаем:\]

\[A_{1}A_{6}H_{1}H_{2} - прямоугольник.\]

\[Отсюда:\]

\[A_{1}A_{6} = H_{1}H_{2} = 2r.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]